sábado, 11 de abril de 2015

Distinciones fundamentales de la integral


Función integral
Si una función f es integrable en el sentido de Riemann en el intervalo cerrado [a, b], al considerar variable el límite superior de integración, ya no se trata de una integral definida y el resultado ya no es un número, sino una función:
A esta función se le denomina función integral, función de acumulación o función área, en virtud de que acumula el área bajo la curva f(x) a partir de un valor fijo a hasta un valor variable x.

La integral indefinida determina una familia de funciones:

La integral definida determina un número real L :


Y la función integral determina una función F(x):


Relación entre la integral definida y la integral indefinida

La función integral vincula a la integral indefinida con la integral definida.

Respecto a la integral indefinida, la función integral es una función de acumulación, que resulta ser una primitiva particular de la función f(x) y por ende pertenece a la familia de la integral indefinida F(x) + c.

Una función f(x) puede tener un número infinito de funciones integrales, cada una de las cuales se diferencia de otras por su límite inferior de integración. No es lo mismo empezar a acumular área a partir de 0, que a partir de 2, que a partir de 5.

Las funciones integrales generadas con un límite inferior de integración diferente, son funciones primitivas pertenecientes a la familia de la integral indefinida, por lo que sólo difieren en una constante, determinada por su ordenada al origen.

Respecto a la integral definida, la función integral es una función área, que mide cualquier área bajo la curva en el intervalo variable [a, x], siempre que xÎ[a, b], intervalo en el que la función f(x) es integrable.


Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo dio inicio al desarrollo matemático que impulsó la revolución científica de la era moderna y aún es considerado como el descubrimiento computacional más importante de la historia de las matemáticas.

Parte 1
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y x es un punto variable en el intervalo semiabierto (a, b], entonces:
esto es, la derivada de la función integral de es ella misma.

En lenguaje de derivadas, tal resultado se expresa como:

La primera parte del teorema establece la ecuación:
que hace cuatro distinciones conceptuales importantes:
  1. La ecuación diferencial F’(x) = f(x) tiene una solución para cada función continua f
  2. Cada función f es la derivada de alguna otra función, específicamente de la función integral F(x)
  3. Cada función continua tiene una antiderivada.
  4. Los procesos de integración y diferenciación son inversos entre sí. 



Parte 2
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b], entonces:
expresión conocida como la Regla de Barrow.

La ecuación que describe la segunda parte del teorema hace otras tres distinciones conceptuales importantes:
  1. La integral definida de una función continua f en [a, b] se puede determinar a partir de cualquier antiderivada F de la función f como el número F(b) – F(a); atajo muy útil para evaluar integrales definidas, sin tener que calcular límites de sumas de Riemann
  2. La relación entre la derivación y la integración se hace evidente cuando el teorema se expresa como:
     7. La relación entre la integral definida y la integral indefinida queda establecida a través de: